# 定义及性质

$A$$m\times n$矩阵，则：

## 基

$C(A)$：化为行阶梯矩阵，主元对应的$A$的列为基。

$C(A^T)$：化为行阶梯矩阵，主元对应的$U$的行为基。

$N(A)$：基础解系为基。

$N(A^T)$$EA = U_0$$E$$r+1\to m$行为基。

$u_{r+1}^TA = 0,...,u_m^TA = 0$，根据定义，即$u_{r+1},...u_m$$N(A^T)$的一组基。

## 例：求解矩阵的四个线性子空间

$A = \begin{pmatrix}1 & 3 &5 & 0 &7 \\\\ 0 &0 & 0 & 1 &2 \\\\ 1&3 & 5 &1 &9 \end{pmatrix}\to U_0=\begin{pmatrix}1 & 3 &5 & 0 &7 \\\\ 0 &0 & 0 & 1 &2 \\\\ 0&0 & 0 &0 &0 \end{pmatrix},E = \begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\\\ 0 &1 & 0 \\\\ -1&-1 & 1 \end{pmatrix}$

$s_2 = c_2\begin{bmatrix}-5 &0 & 1 &0&0 \end{bmatrix}^T$

$s_3 = c_3\begin{bmatrix}-7 &-2 & 0 &0&1 \end{bmatrix}^T$

## 维数

$dim C(A) = r$ $dimC(A^T) = r$ $dimN(A) = n-r$ $dimN(A^T) = m-r$

• 为什么$dim C(A) = dimC(A^T) =r$?
• 行空间维数是矩阵的主元(pivot)的个数，而当矩阵$A$消元转换为$EA=R$(简化行阶梯矩阵)，就是非零行的个数，也就是前$r$行，因此维数为$r$
• 列空间维数是在消元之后，矩阵的列数减去自由变量的个数，由定义可知，自由变量为非主元的个数，因此列空间维数也等于主元的个数$r$
• 因此，我们可以得到：独立列向量的个数等于独立行向量的个数。

# 维数公式

$V$是一个向量空间，$W_1,W_2$是两个子空间，则$W_1\cup W_2$$W_1 + W_2$$V$的子空间，但$W_1\cup W_2$一般不是子空间。它们满足以下关系：

$dimW_1 + dimW_2 = dim(W_1\cup W_2)+dim(W1+W2)$